一、复积分的概念
1.复积分的定义
为了了解复积分，我们需要首先给出复积分的定义，如下:
定义1：
如上如所示，C为简单光滑的有向曲线，其方向是从a到b，函数f(z)在C上均有定义。于是我们将曲线C，任意划分，得到$z_{0}=a,z_{1},z_{2},…,z_{n}=b$,令$\Delta z_{k}=z_{k}-z_{k-1},\lambda =max|\Delta z_{k}|(1\leq k \leq n)$,若在每个弧段上任意取一点$\zeta$，若此时有$\underset{\boldsymbol{\lambda }\rightarrow 0}{\lim}\sum_{\boldsymbol{k}=1}^{\boldsymbol{n}}{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{\xi }_{\boldsymbol{k}} \right) \boldsymbol{\varDelta z}_{\boldsymbol{k}}}$存在,且此极限的存在不依赖于曲线上的取点与划分。那么我们称上述和式的极限为复积分，我们将其记作$\int_{\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{z} \right) \boldsymbol{dz}}$.
这就是复变量函数积分的定义。
下面我们对其做两个说明：
- 上述积分是在正向曲线的情况下对积分进行描述的，同样我们也可以取积分的负向对其进行描述。
- 也同样具有环路积分，同时需要知道的是，环路积分在后面对复变函数性质分析中具有比较重要的意义。
2.复积分的性质
类似于二元实函数，复积分也具有线性、对称性，积分区间可加性等性质，对此我们逐一来看：
复积分线性性质：
复积分的对称性:
复积分的区间可加性：
（其中C=$C_{1}+C_{2}$）
积分估值不等式
上述积分不等式，将第一类曲线积分与复平面上的积分联系在一起，于是假如我们知道了复平面上某函数的最大值以及此时的曲线，那么我们就可以利用上述积分不等式来对积分进行估计。
3.复积分的性质
(1)转化为第二类曲线积分
于是可以进一步转化为定积分或二重积分计算.
(2)转化为定积分
若我们能够找出当前曲线的参数形式，那么我们则可以将此复变量积分转化为简单的定积分。假定：
那么则有:
此处我们给出一个十分重要的积分实例：
二、柯西积分定理
1.柯西基本定理
假设函数f(z)在 单连通域 内 解析 , C为D内任意一条 简单闭曲线，那么则有:
接下来我们给予这个定理简单的证明：
那么上述定理得证，此定理中的条件可以进一步减弱为：在单连通域内解析，单连通域的闭包上连续即可。
2.闭路变形原理
柯西积分定理在证明的过程中使用到了格林公式，而格林公式的运用本质上使用了单连通域这一条件，于是对于多联通域内的闭合曲线，其所围成的闭合曲线中的部分位置可能不在此区域中，于是为了解决这一问题我们需要使用闭路变形原理。它是柯西积分定理在多元域连通域的推广，于是我们首先给出此定理：
定理2：
设二元连通域的边界D为C=$C_{1}+C_{2}^{-}$,函数f(z)在D内解析，在D的闭包上连续，那么则有如下结论成立：
证明过程使用“微创手术法”将二元域割裂为单连通域后按照单连通域的证明方法进行证明即可，同时需要注意，在单一的线条上因为遍历时候经过了方向相反的两次，所以这两部分积分和为0.
3.复合闭路定理
是闭路变形定理在多元域上的进一步推广，定理可以描述如下：
三、原函数
经过上一节的学习我们思考如下一个问题：对于什么样的复变量积分与曲线形状有关，什么情况又无关呢？
1.路径无关性
设函数f(z)在单连通区域D内解析，$C_{1},C_{2}$为D内的任意两条从$z_{0}到z_{1}$的简单曲线，那么则有：
证明十分简单，我们略去不证。在此仅仅给出证明思路：将上述解析函数补充为闭合回路后，补充曲线去负方向即可。
同时我们也能够得到结论，解析函数在复平面上具有很强的性质，也就是说解析函数在复平面上闭合曲线的积分为零，可以推出连接两点之间的积分值与积分路径无关。
2.原函数的概念与性质
在单连通域D内，函数F(Z)内恒满足条件 F’(z)=f(z) ,则F(Z)称为f(z)在D内的一个原函数。
同时若f(z)在单连通域内处处解析，令$F(z)=\int_{\boldsymbol{z}_0}^{\boldsymbol{z}}{\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{\zeta } \right) \boldsymbol{d\zeta }}$，我们称此函数为为变上限积分构成的原函数。按照此种方式定义的F(z)容易发现其在区域D内任然是解析的，且其导函数就是f(z).
3.复数范围内的牛顿莱布尼兹公式
若f(z)在单连通域D内处处解析，G(z)为f(z)的原函数，则:
那么$F(z_{1})-F(z_{0})=G(z_{1})-G(z_{0})$
综上，我们归纳复数域上使用牛顿莱布尼兹公式的条件是，f(z)在单连通域内处处解析,这一条件十分重要，需要谨记。
四、柯西积分公式
如果函数f(z)在区域D内解析，在D的闭包上来纳许,且满足在D的闭包上连续,$z \in D$,则$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\boldsymbol{C}}{\frac{\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{z} \right)}{\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0}\boldsymbol{dz}}$
对于上面的定理若我们将$z_{0}$换作$z$,将z换做$\boldsymbol{\xi }$,则上式可以变为:
对于柯西积分公式而言，区域可以是多连通区域。
于是我们做进一步分析我们得到如下结论：
解析函数在其解析区域内的值完全由其边界上的值确定。换句话说，解析函数在某解析区域内的值可以由其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。同样，需要计算某种特殊类型的积分，也可以使用柯西积分公式，将此积分化为在某些特定点的函数值来计算。
五、平均值公式域最大值原理
如果函数f(z)在$|z-z_{0}|<R$内解析，在$|z-z_{0}|\leq R$上连续，则有：
上述公式说明对于在某一点的函数值，等于其在以其为圆心，任意半径的圆周上的函数值的平均值。
在此我们有必要对其进行简单证明：
于是依据平均值公式，我们同样可以得到最大模原理：
说明：依据平均值公式我们容易得知在解析区域D内任意一点$z_{0}$的函数值是以该点为圆心的圆周上所有函数值的平均值，又因为限定了不为常数函数，于是必不可能存在最大值。
六、高阶导数定理
如果函数f(z)在区域D内解析，在D的闭包上连续，则由柯西积分公式有:
同时因为：
于是在上述柯西积分公式中两侧求导就可以得到：
下面我们来说明这个定理的具体描述：
如果函数f(z)在区域D内解析，在D的闭包上连续，则f(z)的各阶导数均在D上解析，且:
七、柯西不等式
设函数f(z)在$|z-z_{0}|<R$内计息，且|f(z)|<M,则$|f^{(n)}(z_{0}) \leq \frac{n!M}{R^{n}}|$,(n=1,2,…).
八、刘维尔定理
设函数f(z)在全平面上解析且有界，则f(z)为一常数。
证明如下：
