一、复变函数
1.概念与定义
定义1:
设有一复数z=x+iy的集合G，如果有一个确定的法则存在，那么对于集合G中的每一个复数z，按照这一法则，复数w=u+iv就随之确定，那么我们称w是复变数z的函数，简称为复变函数,记作w=f(z).
在此需要我们特别说明的一点是：与实变函数中不同的是如果z的一个值对应着两个或者两个以上w的值，那么我们则称f(z)是多值的，集合G称为f(z)的定义集合。此处并不一定存在一一对应关系.
由于给定了复数x+iy就相当于给定了，两个实数x,y,那么此时与之对应着的是一堆实数u,v;因此复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系:
但是这两个关系并不是独立的。上式确定了自变量为x,y,的两个二元实变函数，并构成了一个复变函数w=f(z).
例如：
2.复变函数中的映射
如果要把函数w=f(z)的定义集合G看作是z平面上的一个点的集合，而把函数值集合D看成是w平面上一个点的集合那么几何上就iu可以看成是从集合G到D的一个映射。
设f(z)将G中的点z映射到D中的w，即集合G映射为集合D，则称点w为点z的像，点z为点w的原像，同样称D为G的像，G为D的原像。
3.复变函数的三种观点
把复变函数定义为一个复变量z的函数，这是从Cauchy定义解析函数的出发点，把复变函数看成两个二元实数对，这是黎曼解析函数的出发点，把复变函数看成一个映射也就是点的对应是讨论共形映射理论的出发点。
二、复变函数的极限
1.复变函数极限的定义
定义2:
设函数w=f(z)定义在$z_{0}$的邻域$0<|z-z_{0}|<\rho$中，总是存在一确定的数A，对于$\forall e>0$,相应地必定存在正数$\delta(e)$,使得$0<|z-z_{0}|<\delta (0<\delta <\rho)$时，有$|f(z)-A|<e$,那么此时则称A为f(z)当z趋向于$z_{0}$时候的极限。记作：
如果此处z为实数，那么上述极限定义将和我们在实分析中所定义的一字不差；但是为复数时需要注意$z \to z_{0}$的方式是与二元函数的极限类似，趋近方式是任意的。
2.复变函数极限的相关定理
定理1:
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=a+bi,$z_{0}=x_{0}+iy_{0},\lim_{z \to z_{0}}f(z)=A$,的充要条件是$\lim_{x \to x_{0},y \to y_{0}}u(x,y)=a,\lim_{x \to x_{0},y \to y_{0}}v(x,y)=b$
上述定理证明十分简单，此处略去。
此定理的作用是，我们可以将一个复变函数的极限转化为两个二元实变量函数的极限。
定理2:
如果存在$\lim_{z \to z_{0}}f(z)=A, \lim_{z \to z_{0}}g(z)=B$,则
三、复变函数的连续性
定义3：
若$\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$，那么我们称f(z)在$z_{0}$处连续；
若f(z)在区域D内处处连续，那我们则称f(z)在D内连续。
定理3：
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$处连续的充要条件为：
定理4：
连续函数的和、差、积、商都是连续函数，连续函数的复合也是连续函数。
四、解析函数
1.引言
解析函数是复变函数中主要的研究对象，宛如我们在实变函数论中主要研究连续函数一样。在复变函数中，我们通常讨论，解析函数的相关性质以及相应的定理及其概念。
2.复变函数的导数
定义1:
w=f(z)定义在区域D，$z_{0},z_{0}+\Delta z\in D$,如果$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_{0}+\Delta z)}{\Delta z}$存在，则称f(z)，在$z_{0}$处可导，极限值称为f(z)在$z_{0}$处的导数，记作：
3.解析函数
定义2：
- 若f(z)在$z_{0}$以及其邻域内处处可导，则称f(z)在$z_{0}$处解析。
- 若f(z)在区域D内处处解析，那么我们称f(z)在区域D内解析，也称f(z)为区域D内的一个解析函数。
- 若f(z)在$z_{0}$处不解析，则称$z_{0}$为f(z)的奇点。
由解析定义可知，函数在一点解析的要求比函数在一点可导的要求要严格。函数在某一点解析，就意味着函数在这一点以及它的某个邻域内都是可导的，但是函数在一点可导仅仅是针对着一点而言的。
需要注意的：在通常条件下，函数在区域内也意味着函数在区域内解析。但是在边界上是例外，因为在边界上可导，并不一定在边界上解析。
4.解析函数的充要条件
(1) 柯西黎曼方程
设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
柯西黎曼方程即为：
简记作：C-R方程。
由此我们给出解析函数的第一个充要条件：
定理5：
函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处可导的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)处可谓，且满足C-R方程。
定理6：
函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:u(x,y)和v(x,y)在D内任意一点z=x+iy处可谓，且满足柯西——黎曼方程。
对于上述定理我们给出其证明如下：
（懒得打字了，直接上图片吧…）
首先我们来证明其必要性：
而后我们接着来证明其充分性：
此定理以及柯西黎曼方程最大的意义就是假若一个函数在某处不满足C-R方程，那么我们可以言之凿凿地确定其在此处不解析。
接下来我们介绍两个推论：
1)设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，如果在D内u,v都有一阶连续偏导数且满足柯西黎曼方程，则f(z)在D内解析。
上述推论容易证明，对于在D内具有一阶连续偏导数的复变函数，按照多元微分学知识，我们容易证明其在D内是可微的，而后又因为其满足柯西里面方程，那么自然有其在区域D内解析成立。
五、解析函数与调和函数
1.调和函数
定义3：
如果二元是函数$\phi (x,y)$在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯(laplace)方程：
则称$\phi=\phi (x,y)为区域D内的调和函数$
定理7：
如果f(z)=u+iv在区域D内解析，呢么u,v在D内都是调和函数。
定理8：
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是：在区域D内f(z）的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和。
2.利用调和函数及其共轭调和函数构造解析函数
（我们还是直接放图，加以我自己的理解和文字说明）
（1）偏积分法
六、复数域中的初等函数
1.初等实函数的扩充
将实数域中的初等函数扩充到复数域所遵循的原则：
当自变量z取实值时必须和实数域中的函数保持一致.
另外，扩充后的函数必须保留是函数的一些本质特性，有了这些以后，那么我们就可以将实数域中所熟悉的几类初等函数扩充到复数域进行研究。扩充的方法就是以原来是函数的某些本质特性为基础进行相应扩充的。
2.指数函数
形如$e^{z}=expz=e^{x}(cosy+isiny)$为复指数函数。此处e并非自然对数常数e=2.718,而是复指数函数的一个专用记号。利用指数函数的定义，我们能够清楚地知道：
当上述公式x=0时候，上述公式就化简为Euler公式。
接下来我们介绍几个复指数函数的特性：
- $e^{z}$是单值函数，事实上对于任意给定的复数z=x+iy,定义中的$e^{x},\cos y,\sin y$均能够取得唯一值，由此我们知道exp z是单值函数。
- 任意给定z,$e^{z} \neq 0$，因为不论z取何值，其模均大于0，由此$e^{z}恒不为0.$
- 加法定理：任意$z_{1},z_{2}$，有$e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}$
- 周期性：$e^{z+2k\pi}=e^{z}$,以2$\pi$ i为基本周期。
- 解析性：复指数函数是处处解析的。
3.对数函数
若exp w = $e^{w}$ = z,则称w为z的对数函数，记作w=f(z)=Ln z(与实函数定义一样，对数函数定义为指数函数的反函数。)
接下来我们介绍几个复对数函数的特性： - 多值性：设$z=re^{i\theta},w=u+iv$有$e^{w}=re^{i\theta}$，即：$e^{u+iv}=e^{u}e^{iv}=re^{i(arg z + 2k\pi)} = re^{i(\theta +2k\pi)}$，于是此时有$e^{u}=r,e^{iv}=e^{i(\theta +2k\pi)}$,所以，$u=lnr,v=\theta + 2k\pi$,而$w=Lnz=lnr+i(\theta +2k\pi) (k\in Z)$,此处需要注意上述复对数函数中真数肩膀上的指数不能够拿到对数符号之前。
- 基本公式：$Ln e^{z}=ln|e^{z}|+i(arg e^{z} + 2k\pi)=x+iy+i2k\pi$
- 解析性：就主值lnz讨论而言，lnz=ln|z|+i argz,ln|z|除去原点外处处连续，arg z在原点与负实轴上不连续。
4.幂函数
函数$w=z^{\alpha}$定义为：$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}(\alpha 为复常数，z\neq 0),称为复变量z的幂函数。$
此外我们还规定：当$\alpha$为正实数且$z=0$时，$z^{\alpha}=0$,而由于Lnz时多值函数，因此$w=e^{\alpha Lnz}$一般是多值函数。
1）当$\alpha$为正实数的时候：
此时幂函数是一个单值函数，也就是当$\alpha$为正整数n时，$z^{n}$是复平面上的一个单值解析函数。
2）当$\alpha$为有理数时，也就是$\alpha = \frac{p}{q}$(p,q为互质的整数，q>0):
由于p,q互质，当k=0,1,2,3…,q-1时，$e^{i2k\pi \frac{p}{q}}=(e^{2k\pi i})^{\frac{1}{q}}$是q个不同的值，因此当$\alpha$是有理数时，$w=z^{\frac{p}{q}}$是q值函数，他有q个不同的分支。
3)当$\alpha$为无理数或者虚部不为0的复数时，容易知道$z^{\alpha}$是无穷多值函数。
5.三角函数
在复变函数中我们将三角函数定义如下：
按照上式分别定义正弦函数和余弦函数。
性质：
- 当z为实数时，其定义与实函数一致。
- 其在复平面内处处解析。
- 奇偶性、周期性与实分析中的三角函数一致。
- 在复分析中，三角函数是无界的。由此看出，只要给定的|y|足够大，那么|cos iy|就可以大于任意事先给定的正数，同理可知sinz在复平面也是无界的。
复平面中三角函数的恒等关系：
同样的，在定义了sinz 与 cosz之后我们可以定义其他的复三角函数：$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}等$
6.双曲函数
在实分析中，双曲函数是不被重视的，因为他是指数函数的组合，但在复分析中，其对映射有着十分重要的作用，因此我们需要进一步学习其相关性质。
首先我们给出双曲函数的定义：
我们分别称其为双曲正弦，双曲余弦和双曲正切函数。
接下来，我们来讨论其解析性质：
由$sh z=-i\sin iz, chz = \cos iz, \th z=-i\tan iz$
由于三角函数的全平面上的解析性，我们容易知道shz,chz是解析的，并且：
而$z=(k\pi +\frac{\pi}{2})i$外处处解析，并且(thz)’=$\frac{1}{ch^{2}z}$