傅里叶变换简介
Fourier变换时积分变换中最常见的一类变换，它不但能够简化运算（如求解微分方程、化卷积运算为乘积运算等等），而且具有十分重要的物理意义。因此Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。由于Fourier变换是在周期函数的Fourier技术的基础上发展出来的。
傅里叶级数的三角函数与指数形式
傅里叶级数的三角形式
设$f_{T}(t)$是以T为周期的实值函数，且在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足Dirichlet条件，也就是：
- 连续或只有有限个第一类间断点
- 只有有限个极值点
令$w_{0}=\frac{2\pi}{T}(称为基频)$，则在$f_{T}(t)$的连续点处，有：
在间断点处，上式左端为:$\frac{1}{2} [f_{T}(t+0)+f(T-0)]$.也就是左右极限的平均。
由三角函数的正交性容易得到以下公式：
成上述对$f_{T}(t)$的展开为Fourier级数的三角形式。
傅里叶级数的指数形式
通过上述已知的傅里叶级数的三角形式，通过欧拉公式得知：
将它们代入并整理得到如下公式,
也就是:
称上式为Fourier级数的指数形式；称其中系数$c_{n}$为离散频谱，记为$F(nw_{0})=c_{n}$.
对上述傅里叶级数，我们要做如下几点重要说明：
- 对于给定的函数，其Fourier级数的展开式是唯一的。
- 在计算展开系数时，可在任意一个区间长度为T的区域上计算其中的积分。
- 采用周期延拓，对于特定区间上的函数也可以展开为傅里叶级数。
通过上式我们容易看出，周期信号可以分解为一系列 固定频率 和 简谐波 之和，这些简谐波的角频率可以分别为一个基频的整数倍数。任何一个周期为T的周期信号$f_{T}(t)$并不包含所有的频率成分，其频率是以基频$w_{0}$为间隔离散取值的。
同时上式中$A_{n},\theta_{n}$两个指标有着重要的物理含义：
- $A_{n}$:反映了在信号$f_{T}(t)$中频率为$nw_{0}$的简谐波所占有的份额。
- $\theta_{n}$:反映了在信号$f_{T}(t)$中频率为$nw_{0}$的简谐波沿时间轴移动的大小。
傅里叶变换
傅里叶积分公式
通过Fourier级数的展开，人们可以完全了解信号的频率特性，从而认清信号的本质，这种分析手段称为频谱分析或者谐波分析。范式Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函数，而在实际问题中，大量的非周期函数的出现使得需要一种新方法对其进行类似的处理。
为此我们考虑，对于某非周期函数，我们将其视作周期为无穷大的函数，对此我们得到如下定理，即傅里叶积分公式：
Fourier 积分定理
设函数f(t)满足：
- 在$(-\infty , +\infty)$上任意一有限区间内满足Dirichlet条件，
- 函数f(t)在定义域上绝对可积，$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt < +\infty$.则在f(t)的连续点处，有：
在间断点处，其公式的左端等于两侧极限的平均值。称上述公式为Fourier积分公式或Fourier积分表达式。
傅里叶变换的定义
于是我们有了傅里叶变换，其按照如下方式进行定义：
- 傅里叶正变换：
- 傅里叶逆变换：也就是：
对于上述积分，我们做几点说明。称$F(w)$为象函数，称f(t)为象原函数；称f(t)域F(w)为傅里叶变换对，上述变换中广义积分的主值取为柯西主值。
傅里叶变换的物理意义
单位冲击函数
在实际应用中，一些常用的函数，如常数函数，线性函数、符号函数以及单位阶跃函数等等都不能进行傅里叶变换。同时在实际问题中，许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述，如：冲击力、脉冲电压、质点的质量等等。
单位冲击函数的定义
单位冲击函数满足：
- 当$t \neq 0$时，$\delta (t) =0$
- $\int_{-\infty}^{+\infty}dt=1$
显然，通过引入单位冲击函数，对于某些无穷大量就可以表示为$P(x) = m\delta(x)$。
接下俩我们需要对其性质做几点说明：
1，单位冲击函数$\delta(t)$并不是经典意义下的函数，因此我们通常称其为广义函数或者奇异函数。
- 不能像常规函数一样通过对应关系来理解它，而需要利用其性质。
单位冲击函数的性质
筛选性质
设函数$f(t)$是定义在$(-\infty, +\infty)$上的有界函数，且在$t=0$
处连续，则有：
一般地，若f(t)在$t=t_{0}$处连续，则有:
对称性质
单位冲击函数为偶函数，也就是$\delta(t) = \delta(-t)$.
积分性质
对于单位阶跃函数$u(t)$,有如下关系：
也就是单位阶跃函数的导数为单位冲击函数。
单位冲击函数的图像
单位冲击函数的Fourier变换
利用Fourier变换可知：
由此可见单位冲激函数和1构成了傅里叶变换对；于是知道单位冲激函数包含所有的频率成分，且谈都具有相同的幅度，称此为均匀频谱或者白色频谱。
同时进一步依据傅里叶逆变换：
于是得到重要等式：$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jwt}dw = 2\pi \delta(t)$,而上述公式是无法通过直接的积分运算得到的。（这是由于$\delta(t)$函数是依据广义积分性质给出，而非直接计算得到的。）
Fourier变换的性质
在下面给出的基本性质中，所设计的函数的变换均存在，对于涉及到的一些运算，如求导、积分、极限、求和等等。
线性性质
Fourier变换具有线性性质，具体形式如下：
其证明容易由积分的线性性质得出。同理可以知道傅里叶逆变换也具有线性性质。
位移性质
假设$t_{0},w_{0}$均为常数，则有如下两个结论
- $\mathcal{F}\left[ \boldsymbol{af}\left( \boldsymbol{t} \right) +\boldsymbol{bg}\left( \boldsymbol{t} \right) \right] =\boldsymbol{aF}\left( \boldsymbol{w} \right) +\boldsymbol{bG}\left( \boldsymbol{w} \right)$(时移性质)
- $\mathcal{F}^{-1}\left[ \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{w}-\boldsymbol{w}_0 \right) \right] =\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{jwt}}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{t} \right)$(频移性质)
上述两个等式的证明都可以通过做变量代换得到，其中1所作的变量代换为:$x=t-t_{0}$,2所作的变量代换为：$x=w-w_{0}$.
相似性质
假设a为非零常数，那么$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{w}{a})$.
上述性质的证明容易通过不定积分的性质得到。
微分性质
若$\underset{|\boldsymbol{t}|\rightarrow +\infty}{\lim}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{t} \right) =0$,则$\mathcal{F}\left[ \boldsymbol{f}’\left( \boldsymbol{t} \right) \right] =\boldsymbol{jwF}\left( \boldsymbol{w} \right)$.
其证明如下：
同理可知，对于上述等式而言，一般的，若$\lim_{|t| \to +\infty}f^{(k}(t)=0,(k=0,1,2,3,…,n-1)$,则容易知道：
证明过程可以参照一阶导数，使用n次即可。同理可以得到像函数的导数公式：
- $\mathcal{F}^{-1}[F’(w)]=-jtf(t)$
- $\mathcal{F}^{-1}[F^{n}(w)]=(-jt)^{n}f(t)$
积分性质
上述等式容易通过积分的逆运算得到。
帕塞瓦尔(Parseval)等式
Parseval等式描述了另外一种傅里叶变换的原函数与像函数之间的关系：
周期信号的帕赛瓦尔定理就是说： 周期信号可以等效为各次谐波的叠加,因此傅里叶系数（也就是各次谐波的功率）的平方求和 与原信号的功率是相等的.
卷积与卷积定理
卷积的概念与运算性质
卷积函数的概念
设函数$f_{1}(t)$与$f_{2}(t)$在区间$(-\infty,+\infty)$上有定义，如果广义积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau$对任何实数t都收敛，则它在$(-\infty,+\infty)$上定义了一个自变量为t的函数，称此函数为$f_{1}(t)和f_{2}(t)$的卷积，记为
卷积函数的性质
- 交换律
- 结合律
- 分配律
卷积定理
