信号与系统的基本概念
信号
需要区分以下两个概念：
- 消息：在通信系统中，一般将语音、文字、图像、数据统称为消息。
- 信号：指消息的表现形式与传送载体。
信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。
系统
系统是有若干互相作用和互相依赖的食物组合而成的，具有稳定功能的整体，例如：手机，基站，交换机。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转化为所需要的输出信号，当前信号有模拟信号与数字信号之分。
信号与系统
信号与系统研究的是信号与系统及其之间作用关系，信号在系统中的变换。
其中信号理论包括：
- 信号分析：研究信号的描述、性质等
- 信号传输：研究信号的传输方式
- 信号处理：研究信号的处理方式
系统理论包括：
- 系统分析：给定系统，研究i系统对于输入所产生的输出。
- 系统综合：按照给定的需求设计系统。
信号的描述方法与分类
信号的描述方法
对于某一特定信号我们有多种方法来表示其，主要有如下三种方法：函数法，作图法，表格法。
信号的分类
总体上信号可以按照如下规则分类：
按照时间特新划分：
- 确定信号，随机信号
- 连续信号，离散信号
- 周期信号，非周期信号
- 能量信号，功率信号
确定信号与随机信号
对于给定的t，有确定的函数f(t)与之一一对应，这种信号我们称为规则信号，或者确定性信号，例如我们常见的正弦波信号。而随机信号具有未可预知性和不确定性。
对于确定信号，我们往往能够分析其特性。从而得出相应有关结论。
对于随机信号，我们难以直接描述其特征，但是利用统计知识，我们可以描述其统计特征，如均值，方差等。
连续信号与离散信号
连续信号指的是：时间连续，幅值连续的信号；抽样信号指的是：时间离散，幅值连续的信号。进一步对抽样的离散信号做数字化处理，使得离散信号的幅值也是离散的，那么我们就得到了数字信号。
它们之间的关系如下：
周期信号与非周期信号
周期信号指的是按照一定规律周而复始，无始无中的一类信号。其可以按照如下规律表示：
其中最小的正T值，我们称为（基波）周期，此时对应的频率$f_{1}=\frac{1}{T}$称为基波频率，相应地称:$w_{1} = 2\pi f_{1}=\frac{2\pi}{T}$为基波角频率。周期信号又可以分为:正弦周期信号（简谐信号）和复杂周期信号（除简谐信号外的周期信号）。
需要指出的是：两个周期信号的和不一定是周期信号，原因在于其周期的倍数可能为无理数。
一维信号与多维信号
一维信号与多维信号分别指的是有一个自变量和多个自变量描述的信号。典型的一维信号有：语音信号；多维信号有：图像信号，电磁场信号。
能量信号与功率信号
信号中的能量与功率按照如下方式进行定义：
- 能量信号：信号在时间区间$(-\infty,+\infty)$内的能量为有限值，但是平均功率为0的信号。大多数时限信号均是能量信号。
- 功率信号：信号在时间区间$(-\infty,+\infty)$内的能量为$\infty$,但此时平均功率为有限值。例如常见的：周期信号，阶跃信号，符号函数等等为功率信号。
典型的连续时间信号
指数信号
$f(t) = Ae^{\alpha t}$，此指数信号具有一个重要特征:其对于时间的微分和积分任然是指数的形式。
其中$\tao$为时间常数，具有时间的量纲，此常数越大，能够使得信号随时间的变化越慢。
正弦信号
正弦信号常见形式为:$f(t)=A\sin (wt+\theta)$,其中A代表正负，w代表角频率，$\theta$代表初相位。
复指数信号
复指数信号形式如下：$f(t)=Ke^{st},(-\infty < t < \infty)$,其中$s = \sigma + jw$为负数，而$\sigma ,w 均为实常数$.$\sigma 的量纲为\frac{1}{s},w的量纲为rad/s$.
代入，利用欧拉公式分解后，得到：
抽样信号(Sampling Signal)
抽样信号$Sa(t)=\frac{\sin t}{t}$.它是一个偶函数，且当$t \to 0$时，其比值极限为1.如图：
容易知道其在$(-\infty, +\infty)$上积分，得到的结果时$\pi$,而由于其是偶函数，由此得知在一半的区间上积分得到的积分值是$\frac{\pi}{2}$.
事实上也就是第一部分的内接三角形的面积。
除此之外，我们还引入另外一个形式的抽样信号：$sinc(t) = \frac{\sin (\pi t)}{\pi t}$.
钟形脉冲函数（高斯函数）
高斯函数的形式如下：$f(t) = Ee^{-(\frac{t}{\tao})^{2}}$.其图像如下：
在随机信号分析中，使用此函数描述正态分布；光学中使用这个函数描述激光脉冲的包络。
信号的运算
连续信号的运算
因变量运算
相加与相乘
信号的相加就是将两个信号的幅值向加，信号的相乘本质是信号的调制。
微分与积分
信号的微分可能会产生冲击函数，信号的积分我们称为运动积分。
自变量的转换
对于某函数f，若有如下映射，那么我们能够得到：
的映射变换，其中f表示函数(function)，at+b称为宗量，t称为自变量。变换前后波形图的横坐标不变。
综量相同，函数值相同，由此可以求得新坐标。
其中平移，就是在宗量上变换一个单位，反转就是将t变换为-t，理论上也就是将过去和未来对调。尺度变换对应于上式中的a，当a大于1的时候压缩，小于1的时候放大。
需要说明的是一切变换都是正对自变量t的变换！！！
奇异函数
奇异信号主要包括：单位斜变信号，单位阶跃信号，单位冲击信号，冲击偶信号。奇异信号是一类理想化的信号。
单位斜变信号
单位斜变信号，当$t<0$的时候为0，当t>0的时候为t:
同时也可以对其做平移变换：
此时使得宗量等于0的点就是其起始点。
单位阶跃信号
单位阶跃信号定义如下：
需要注意的是单位阶跃信号在0点处无定义。有延迟的单位阶跃信号定义如下：
由此可知当宗量$(t-t_{0})=0$的时候，即时间为$t_{0}$的时刻，函数有断点、跳变点。
使用单位阶跃信号，也可以描述其他信号。
- 门函数(Gate):门函数也称为矩形窗函数$G_{\tao}(t) = u(t+\frac{\tao}{2})-u(t-\frac{\tao}{2})$.
- 符号函数：同时符号函数也可以写作如下形式:$sgn(t) = -u(-t)+u(t)=2u(t)-1$.
单位冲击信号
冲击信号的定义
单位冲击信号是一个十分重要的信号，其有如下三种定义形式：
- 脉冲信号取极限
- 狄拉克(Dirac)函数
- 广义函数形式的定义
首先我们来引出冲击函数：在极短时间内作用效果明显的值。
假若存在一脉冲，其面积始终为1，当其宽度趋近于0时，得到单位冲击信号。其函数解析形式如下：
为了描述这样一个信号，我们引入了单位冲击信号：
三角脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲、抽样函数、在此极限下，都可以认为是冲激函数。对其做积分，积分值恒为1.
接下来我们来介绍狄拉克对冲激信号的定义：
第三种定义是依据广义函数的定义，其中将函数分为分配函数与检试函数。
其中$\delta (t)$称为分配函数，f(t)称为检试函数。也就是在很小很小的窗口中，呢个够将f(t)检验出来。
冲击信号的性质
- 抽样性：如果f(t)在t-0处连续，且处处有界，则有$\delta (t)f(t)=f(0)\delta(t)$。也就是说，只有在这个极小的窗口内，f(t)能够展现出来。所以冲击信号具有抽样性。同时，可以将冲击函数进行位移，此时得到的冲激函数也就不同。
- 奇偶性：句星脉冲冲击本身就是偶函数，由此其极限冲击函数也是偶函数。
- 尺度变换：$\delta (at) = \frac{1}{|a|} \delta(t)$。容易分析，此时其高度不变，但是底宽变为原来的$\frac{1}{|a|}$.于是容易得知其此时函数的面积变为原来的$\frac{1}{|a|}$。在取极限后，容易得知函数值为原来的$\frac{1}{|a|}$。
冲击偶信号
冲击偶信号就是冲击信号求导后得到的信号类型。
性质：
信号的分解
直流分量与交流分量
$f_{D}(t):$直流分量
$f_{A}(t):$交流分量
对于此种信号，其功率可以按照如下公式进行计算：
奇分量与偶分量
对于任何实信号而言：
其中$f_{e}(t)为偶分量，f_{0}(t)为奇分量。$
对于奇偶信号，平均功率如下：
实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可以分解为实虚部两部分之和：
共轭复函数：
于是通过一对共轭的复函数，我们容易将其实部和虚部表示出来：
由于这两对信号中存在一定制约联系，可以借助复信号来研究实信号。
离散信号
离散信号的描述方法
离散信号通常是连续信号通过抽样得到的，$x(t)$等间隔$T_{s},x(nT_{s})$，表示为x(n),其中n=0,+-1,+-2,…于是由于其等间隔，只需要将其序号记录即可。，如${…,8,7,4,1…}$
波形：线段的长短表示各序列值的大小。
常见的离散信号
单位样值信号
同样地，单位样值信号也具有时移性，比例性，抽样性。
于是，有了单位样值信号后，我们就可以再离散信号中通过信号的相加表示任意离散的信号：
其中x(m)为某一位的权,$\delta (n-m)$为此时信号的位置。
单位阶跃序列
单位阶跃序列定义如下：
单位阶跃序列可以看作是无数个单位样值之和：
同时也可以将单位抽样信号视作两个单位阶跃信号之差：
矩形窗
我们容易看出其与$u_{n}$有如下关系:
单边指数序列
单边指数序列的图形如下：
由于a的值不同，此序列可能是增长的的，也可能是减少的。
正弦序列
也就是说，事实上，$w_{0}$也就是数字角频率。
此时假若:
- $2\pi /w$为整数，那么容易知道此时此数就是其最小正周期。
- $2\pi /w$为分数，那么此时分子就是其周期。
- $2\pi /w$为无理数，那么此时无周期。也就是说其包络扛上去是周期的，但是事实上并不是周期函数。
复指数序列
离散信号的运算
离散信号有多种运算方式：
- 相加
- 相乘
- 乘系数
- 移位
- 倒置
- 差分
- 累加
- 重排
- 序列的能量
- 序列的功率
相加
离散信号的相加十分简单，只需要对给定信号再对应位置直接相加即可。$z(n) = x(n) +y(n)$.
相乘
信号的相乘也是点对点的运算，如：$z(n) = x(n) \cdots y(n)$
乘系数
z(n)=ax(n), 通过再信号之前乘以常数，使得信号的幅值发生变化。
移位
倒置
离散信号的导致与连续信号类似，都是将变量添加符号，$z(n) = x(-n)$.
差分
对于离散的信号，差分是一项重要的性质。差分又分为前向差分和后向差分。
前向差分：
向后差分：
累加
累加对应于离散信号的积分。是指从某一刻开始，对离散信号做加和操作，直到给定的时刻为止。
抽取（抽取和内插）
抽取(decimation)
$x(n) \to x(Nn)$, N为正整数。
内插(Interpolation)
$x(n) \to x(\frac{n}{N})$,N为正整数。
序列的能量
对于离散信号的能量，其可以按照下述公式进行求解：
系统简介
连续系统与离散系统
从输入与输出信号来判别，可以将一系统划分为连续系统与离散系统。若输入、输出均为连续的信号，那么此时系统称为连续系统；若输入输出的信号均为离散的信号，那么此时系统为离散系统。
即时系统与动态系统
即时系统也成为非记忆系统，列出的方程为代数方程，也就是此时系统的规律；而动态系统也称为记忆系统结果为微分方程或者差分方程。
对于上述两种系统，我们可以记作：
- 连续系统：$r(t) = H[e(t)]$
- 离散系统：$y(n) = H[x(n)]$
集总参数系统与分布参数系统
- 集总参数系统：列出常微分方程(t),比如较为低频的电路
- 分布参数系统：列出偏微分方程(t,x,y,z,…),如波导、传输线。
可逆系统与不可逆系统
若某一系统在不同激励信号的作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。我们可以通过可逆系统来实现补偿。
输入信号e(t)和-e(t),输出总是相同的，无法从输出唯一地判断输入信号是什么。于是此系统是不可逆的。
线性系统
线性系统指的是具有线性特性的系统，能够均匀叠加。具体表现如下：（满足数乘和加法）
时不变系统
时不变系统指的是在零初始条件下，其输出与输入信号之施加于系统的时间起点无关的系统，我们称为时不变系统，否则称为时变系统。
在实际判断中我们从电路上可以观察原件的参数值是否随时间变化，从方程上看，我们可以观察方程的系数是否随着时间变化。
因果系统
因果系统指的是一类仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。系统的这种特性称为因果系统。可以通过输出是否超前于输入来判断系统是否为因果系统，若为因果系统则输出不可能超前于输入。
稳定系统
如果系统对任何有界输入都只产生有界输出，则称该系统为有界输入、有界输出意义下的稳定系统。对于这样的系统，输入不发散、输出也不会发散。从工程的角度而言，系统的稳定是至关重要的。
线性时不变系统的模型
连续系统模型
微分方程
- 依据实际的系统和物理特性列写微分方程
- 给定激励条件和初始状态，求响应。
- 经过数学解析后在回到物理实际检验方程。
结构图
例如方框图和信号流图均可以表示连续时间系统。
离散系统模型
结构图
系统的分析方法
LIT系统的分析方法
研究的问题
研究线性时不变系统的基本分析方法，结合通信系统的一般问题，初步介绍这些方法在信号传输与处理方面的简单应用。在系统分析时们需要建立表征系统特征的数学模型后再求解该系统的响应。
模型的建立
模型的建立有多种方法，我们最主要介绍两种方法：
- 输入、输出描述法
着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部的变量关系；单输入/单输出系统需要列写一元n阶微分方程。 - 状态变量方法
状态变量不仅仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压或者电感电流的情况。研究多输入、多输出的系统，通常需要列写多个一阶微分方程。模型的求解
模型的求解主要有两大类：第一种是时域的求解方法，另外一种是变换域的求解方法。 - 时域分析：时域分析主要是通过经典法或者卷积积分求解，对于经典法可能求解连续或者离散系统，卷积积分则利用卷积和进行分析。
- 变换域分析：变换域主要有傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换，离散时间信号的傅里叶变换。
MATLAB的使用与信号分析
单位样值信号
有限长序列
