线性代数--第四章--特征值、特征向量与二次型

特征值与二次型

本章主要讨论两个问题，首先是为什么要将二次型化为标准型，接着是如何将二次型化为标准型。在此章中的理解需要细致入微的理解本章的数学背景。

二次型的背景

二次型的提出是为了应对实际工程中一些经过旋转，形状较为复杂的图形。也就是此时空间曲线，曲面方程中除存在平方项外，还存在交叉项。
此处的思想就是站在另外一个角度看问题，对于某个二次方程，使用向量对其进行研究，于是我们得到。

$$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3 \right) =\boldsymbol{x}_{1}^{2}+2\boldsymbol{x}_{2}^{2}+3\boldsymbol{x}_{3}^{2}+2\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{x}_2-4\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{x}_2+6\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{x}_3 \\ =\left( \boldsymbol{x}_1\,\,\boldsymbol{x}_2\,\,\boldsymbol{x}_3 \right) \left( \begin{matrix} 1& 1& 3\\ 1& 2& -2\\ 3& -2& 3\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x}_1\\ \boldsymbol{x}_2\\ \boldsymbol{x}_3\\ \end{array} \right)$$

二次型的转化

为了将上述式子中的系数矩阵变为对角阵，从而方便我们进行运算以及图形分析，我们有必要引入如下的方法和概念：

1. 相似：若存在可逆矩阵C，使得$C_{-1}AC=B$时，我们称A~B。
2. 对1中概念做进一步推广，若存在可逆矩阵D，使得$D^{-1}AD=\boldsymbol{\lambda },则A~\boldsymbol{\lambda }$，$\boldsymbol{\lambda }$此时为某一对角阵。
3. 于是对上述式子同时左乘D，即得到特征值的求解式：$AD=D\boldsymbol{\lambda }$
4. 若存在正交矩阵P，使得$P_{-1}AP=\boldsymbol{\lambda }$可以推出$A~\boldsymbol{\lambda }$,而对于正交矩阵有$A^{T}=A^{-1}$.
5. 接下来再做变量代换:X=PY即可得到$Y^{T}\boldsymbol{\lambda }Y$.

特征值与特征向量

求矩阵的特征值与特征向量

首先我们给出特征值与特征向量的定义：
假设$A_{n \times n},x是非零列向量，\boldsymbol{\lambda }是一个数$，若满足$AX=\boldsymbol{\lambda }X$,则称$\boldsymbol{\lambda }$为A的特征值，X为A的特征向量。

也就是已知某矩阵A，那么我们可以通过立刻解方程$(\boldsymbol{\lambda }E-A)X=0 (X \neq 0)$,那么意味着行列式$|\boldsymbol{\lambda }E-A|=0$.

抽象矩阵的特征值与特征向量

矩阵	A	$A^{m}$	kA+nE	$A^{-1}$	$A^{*}$	$P^{-1}AP$
特征值	$\lambda$	$k\lambda +n$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{	A	}{\lamda}$	$\lamda$
特征向量	x	x	x	x	x	$P^{-1}X$

此外还有两条性质：

1. 特征值的和等于迹
2. 特征值的积等于行列式

具体矩阵的特征值与特征向量

1. 写出$|\lambda E-A|=0$,并通过此方程求解出$\lambda_{i}$
2. 将$\lambda_{i}$代入原方程，得到$(\lambda_{i}E-A)X=0$,于是可以求得特征值与特征向量。

矩阵的相似对角化

相似

首先我们给出矩阵相似的定义：
设$A_{n \times n},B_{n \times n}$.若存在可逆矩阵C，使得$C^{-1}AC=B$.则称A与B相似。

相似矩阵的四个必要条件

若$A~B$,那么我们容易得到如下四条结论：

1. r(A)=r(B)
2. |A|=|B|
3. $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
4. $\sum a_{ii} = \sum b_{ii}$

对角化

假设存在可逆矩阵D，使得$D^{-1}AD=\lambda$,那么矩阵A可以进行相似对角化得到$A~\lambda$.接下来我们给出D的求解过程：

1. 等式两侧左乘D，得到如下等式$AD=D\lambda$
2. $$A(y_{1},y{2},\cdots,y_{n})=(y_{1},y{2},\cdots,y_{n}) \left( \begin{matrix} \boldsymbol{\lambda }_1& & & \\ & \boldsymbol{\lambda }_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & \boldsymbol{\lambda }_{\boldsymbol{n}}\\ \end{matrix} \right)$$

   A可以相似对角化的条件

3. A有n个线性无关的特征向量（充要条件）。
   接下来我们给出几个结论，假设A是普通矩阵，其具有两个的特征值$\lambda_{1},\lambda_{2}$,
   若$\lamda_{1} \neq \lambda_{2}$,那么则必有其对应的特征向量线性无关。若原矩阵为对称矩阵，则其必然可以相似对角化，其不同特征值所对应的特征向量必然线性正交，其相同特征值所对应的特征向量必然线性无关。

Schimidt正交化

假设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，那么正交化过程：

1. $\beta_{1} = \alpha_{1}$
2. $\beta_{2} = \alpha_{2} - \frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}$
3. $\beta_{3} = \alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$
   按照以上步骤进行，可将向量正交化。
   进一步对向量进行单位化即可，只需要除以向量的模长即可。

二次型化标准型

1. 写出二次型矩阵A，且A为对称矩阵，因为实对称矩阵必然可以相似对角化。
2. 求出A的特征值$\lambda$与特征向量$X$.
3. 将$X_{1},X_{2},X_{3}$进行单位化、正交化为$y_{1},y_{2},y_{3}$.
4. 令$P=(y_{1} y_{2} y_{3})$
5. 令X=PY，$f=x^{T}Ax=Y^{T}\lambda Y=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\lambda_{3} y_{3}^{2}$

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