方程组的解于向量间关系的描述
方程组求解
对于此方程组，其解就是在描述一个向量与一组向量之间的关系的表示系数。简称为解就是系数。
方程组的定性研究
相关性问题
相关性问题研究的是有无多余向量。
假定当前有一向量组为$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，
若此向量组中存在多余向量，那么：
$|\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}|=0$
$\Longleftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})<s$
若此向量组中不存在多余向量，那么：
$|\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}|\neq 0$
$\Longleftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})=s$
上述表述等价于如下表述：
存在一组不全为0的数$x_{1},x_{2},\cdots,x_{s}$使得$x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}+\cdots+x_{s}\alpha_{s}=0$成立，那么则称$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$向量组线性相关。
那么相应得我们可以得到线性无关的定义：
若要使$x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}+\cdots+x_{s}\alpha_{s}=0$,那么则必有$x_{1}=x_{2}=x_{3}=\cdots=x_{s}=0$,此时则称此向量组线性无关。
从方程组的角度观察则有如下表述：
$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})$,那么则$AX=0$有非零解则线性相关，只有零解则系数矩阵中向量组线性无关。同样，我们可以推出，AX=0有非零解，等价于系数矩阵A的秩r(A)<S;而AX=0只有零解等价于r(A)=s.
更具体得，r(A)实际就是独立方程组的个数，而s本质就是未知数的个数，因此从方程组的角度看上述问题就是：
当独立方程的个数等于未知数个数的时候，方程组有唯一解，当独立方程的个数小于未知数的个数的时候，方程组有无穷多解，本质就是约束少，存在自由变量。
于是有如下定理：
若$(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})$线性相关，则$(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\alpha_{s+1})$线性相关。
若$(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})$线性无关，则$(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s-2},\alpha_{s-1})$线性无关。
归纳起来就是，长向量线性无关，则尤其部分向量组成的向量组线性无关。短向量线性相关，则长向量则必然线性相关。
表示性问题
表示性问题研究的是如何表示多余向量。也就是$\beta$是否能够由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$表示，那么得到如下两个结论：
$\beta$能够由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$表示$\Rightarrow$ $|\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}|=0$
$|\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}|\neq 0$ $\Rightarrow$ $\beta$能够由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$
代表性问题
代表性问题的是方程组的本质可以由那些向量表示。一个向量组的极大无关组即可以代表这个向量组的本质。接下来我们给出向量组的极大无关组的定义：
从$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$中任意取出$\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\cdots,\alpha_{i_{r}},$，那么有如下结论：
- $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{i_{r}}$线性无关。
- $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{i_{r}}$任意向量均可以由极大无关组向量线性表出。
于是我们则称此向量组是原向量组的一个极大无关组。
于是我们有极大无关组的一个重要应用就是求解方程组AX=0的基础解系。在解方程时，对于解向量可能会有无穷多，于是此时需要找到一个极大无关组。
首先我们给出基础解系的定义：
假设有$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{s}$是AX=0的基础解系,那么其必须满足
- 此向量组是AX=0的解
- 此向量组线性无关
- AX=0的任一解均可以由其表示
而3又等价为基础解系中所含向量的个数S=n-r(A),本质就是未知数的个数要等于有效方程的个数加上自由变量的个数。
于是我们则称$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{s}$为AX=0的一个基础解系。
求基础解系的步骤：
- 化系数矩阵为行阶梯型矩阵，按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，剩余的变量即为自由变量。按照基础解系的定义，从3->2->1反推，即可求解基础解系。
等价性问题
等价性问题研究的是等价向量组的条件与结论。
等价性问题的本质是在讨论向量组的等价。
假定当前有两个向量组I$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\cdots,\alpha_{s})$和向量组II$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s})$.
那么若存在某矩阵$K_{s \times t}$，使得$A = KB$,则称(I)可以由(II)线性表出。
同理也可以找到矩阵，使得$B = KA$，那么则称向量组(II)可以由向量组(I)线性表出。
若上述向量组能够互相表出，那么我们则称(I)和(II)为等价向量组。于是等价向量组必有秩相同（必要条件）。