线性代数--第二章--矩阵

核心考点

1. 矩阵定义的引入与本质
2. 矩阵的运算：线性运算（加法，数乘）；矩阵乘法运算；矩阵求逆
3. 矩阵求逆的问题：
   1. 某矩阵有无逆矩阵.
   2. 若矩阵有逆矩阵，如何求其逆矩阵。
      1. 使用$A^{*}$
      2. 使用初等矩阵以及初等变换求逆矩阵
4. 矩阵方程： AX=B;XA=B
5. 关于矩阵的秩的等式与不定式问题

矩阵的概念与矩阵的定义

1. 矩阵表达的是系统信息
2. 秩是矩阵的灵魂，对于一个矩阵若存在k阶子式不为0，而任意k+1阶子式均为0.也就是说有且仅有k个独立向量。
3. 矩阵可以看作是由向量拼成的系统。
4. 若矩阵的行列式不为0，那么则组成其的向量组独立；否之向量组不独立，组成此矩阵的所有向量组中至少一个向量多余。

综上我们按照这种方式来定义矩阵：
矩阵是由多个向量组成的，其中独立向量的个数称为矩阵的字。

化矩阵为行阶梯型矩阵

定义

如果一个矩阵A满足如下条件：

1. 若矩阵存在0行，则都在矩阵的下方
2. 从行上看，自座便器，出现连接0的个数，自上而下严格单
   那么此种类型的矩阵称为行阶梯型矩阵。

进一步我们可以定义行最简阶梯型矩阵：

1. 台角位置元素为1
2. 台角正上方的元素全为0

初等行变换

本质上是方程组的同解变换

1. 互换：两行/列互换位置
2. 倍乘：对于某行/列乘以一个常数
3. 倍加：将某行乘以一个常数加到另外一行

矩阵的运算

矩阵的相加与数乘

矩阵的相加就是矩阵对应位置的对应元素相加，数乘就是矩阵的每一个位置都乘以一个相同的常数。这种矩阵的运算不改变矩阵的系统信息。

矩阵的乘法

1. 对于矩阵的乘法，我们可以将矩阵看作向量的组合，从而将矩阵的乘法变化为向量组的变换。
2. 对于矩阵的乘幂，我们通常可以采用对角化来求解。

矩阵求逆

可逆的矩阵

1. 定义：设A为n阶矩（方）阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，那么称A可逆，且$A^{-1}=B$.但是AB=E的时候，AB不一定互为可逆矩阵，可逆矩阵必须是方阵。

2. 逆矩阵的性质：

   1. A可逆，则逆矩阵唯一。
   2. A可逆等价于，则此矩阵的行列式为0。

矩阵的求逆

以下介绍多种矩阵求逆的方法：

1. 具体形求法，设出矩阵中所有元素，而后转换为方程组求解。
2. 抽象求解法，对于没有具体给出元素的矩阵，只给出了抽象的矩阵关系式，可以使用提公因式的方法求解逆矩阵。
3. 使用伴随矩阵求逆

首先我们对伴随矩阵做一个简要介绍，伴随矩阵就是将某矩阵行列式中对应位置的代数余子式按照原来位置排列后转置所得到的矩阵。看上去比较复杂，但是通过运算后我们容易得到比较简单的结果：

$$AA^{*}=A^{*}A=|A|E,$$

1. 几个矩阵求逆的基本公式: $$\left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}& 0\\ 0& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right) ^{-1}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}^{-1}& 0\\ 0& \boldsymbol{B}^{-1}\\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0& \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}& 0\\ \end{matrix} \right) ^{-1}=\left( \begin{matrix} 0& \boldsymbol{B}^{-1}\\ \boldsymbol{A}^{-1}& 0\\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{C}\\ 0& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right) ^{-1}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}^{-1}& -\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{CB}^{-1}\\ 0& \boldsymbol{B}^{-1}\\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}& 0\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right) ^{-1}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{A}^{-1}& 0\\ -\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{CA}^{-1}& \boldsymbol{B}^{-1}\\ \end{matrix} \right)$$

2. 几个关于$A^{*}$的公式

   1. $|A^{*}|=|A|^{n-1}$
   2. $(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}$
   3. $(A^{*})^{*}=|A|^{n-1}A$
   4. $(A^{T})^{*} = (A^{*})^{T}$
   5. $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$
   6. 伴随、转置、求逆可以交换顺序

初等矩阵及其应用

初等矩阵的定义

单位矩阵 经过一次初等变换 得到的矩阵称为初等矩阵。
由于三种初等变换：互换，倍加，倍乘，求行列式和初等阵可用列变换，其他一律使用行变换。

左行右列定理

对于某初等矩阵P左乘A，就是A做与P相同的初等行变换。若右乘，则为初等列变换。

应用

于是我们将初等矩阵与A拼在一起后，对A做初等行变换，当A变为初等矩阵时对应得变为了$A^{-1}$.

初等阵求逆定理

初等阵必定可逆，且其逆均为同类型的初等矩阵。

1. 对于互换阵：$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$
2. 对于倍乘阵：$E^{-1}_{i}(k)=E_{i}(\frac{1}{k})$
3. 对于倍加阵：$E_{ij}^{-1}(k)=E_{}(-k)$

矩阵方程

矩阵方程主要有两方面，一方面是对抽象矩阵方程的化简，另外一方面是对矩阵方程的计算。

矩阵的等式与不等式

不等式

1. $0 \leq r(A_{m \times n}) \leq min{m,n}$
2. $max{r(A),r(b)} \leq r(A|B) \leq r(A)+r(B)$
3. $r(A+B) \leq r(A|B) \leq r(A)+r(B)$ (被表出的向量组秩不大)
4. $r(AB) \leq min{r(A),r(B)}$
5. $A_{m \times n}B_{n \times S} = 0$可以推出$r(A)+r(B) \leq n$ 部分解的秩小于全部解的秩

等式关系

1. 设$A_{m \times n},B_{n \times s}$,已知r(A)=n,任意矩阵B左乘列满秩矩阵A不改变秩。
2. 对1做推广，对于左乘列满秩矩阵不改变结果的秩，右乘行满秩矩阵不改变结果的秩；与可逆矩阵做矩阵乘法不改变矩阵的秩。
3. 设A为n阶矩阵， $$\boldsymbol{r}\left( \boldsymbol{A}^* \right) \begin{cases} \boldsymbol{n}, \boldsymbol{r}\left( \boldsymbol{A} \right) =\boldsymbol{n}\\ 1, \boldsymbol{r}\left( \boldsymbol{A} \right) =\,\,\boldsymbol{n}-1\\ 0, \boldsymbol{r}\left( \boldsymbol{A} \right) <\,\,\boldsymbol{n}-1\\ \end{cases}$$

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