一、引言
本章重点解决闭路积分问题，
- 若f(z)在区域D内解析在曲线T上连续，由柯西积分定理知道：
- 若f(z)在区域D内有唯一的奇点$z_{0}$,由闭路变形原理知道
也就是说此时我们只需要考虑在圆周C上的积分，于是我们对函数f(z)在$z_{0}$的去心邻域内进行洛朗展开，展开结果如下:
等式两端沿C的正向取闭路积分，由重要积分我们知道：
那么我么则得到：
这就是我们本节主角留数的由来。
二、孤立奇点的分类
定义
设$z_{0}$为函数f(z)的奇点，且存在$\delta >0$,使得f(z)在$z_{0}$的去心邻域$0<|z-z_{0}|<\delta$内解析，则称$z_{0}$为f(z)的孤立奇点。
分类
将函数f(z)在它的孤立奇点$z_{0}$的去心邻域$0<|z-z_{0}|<\delta$内展开为洛朗级数。依据展开式的不同情况对孤立奇点做分类。
可去奇点
如果洛朗级数中不含有$z-z_{0}$的负幂项，那么孤立奇点可以称为f(z)的可去奇点.
显然此时又$\lim_{z\to z_{0}}f(z)=c_{0}$，于是我们定义:
则在上述给定圆域内$|z-z_{0}|<\delta$内就有$F(z)=c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+…+c_{n}(z-z_{0})^{n}+…$从而f(z)在$z_{0}$解析。所以称$z_{0}$为f(z)的可去奇点。
极点
如果洛朗级数中只有有限多个$z-z_{0}$的负幂项，且其中关于$(z-z_{0})^{-1}$的最高负幂次项为m,即:
则称孤立奇点$z_{0}$为函数f(z)的m阶极点，上式也可以写作：
其中$g(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-z_{0})+c_{-m+2}(z-z_{0})^{2}+…$,在$|z-z_{0}|<\delta$中是解析函数，且$g(z_{0})≠0$.反推也可，也就是说若一个函数展开后能够表示为如上形式，那么$z_{0}$是f(z)的m阶极点。
本性奇点
如果在洛朗级数中含有无穷多$z-z_{0}$的负幂项，则孤立奇点称为$f(z)$的本性奇点。$z_{0}$为f(z)的本性奇点等价于$\lim_{z\to z_{0}}$不存在。
三、零点与极点
本节我们主要介绍零点与极点的关系，首先我们简要介绍复变函数中的零点。在复变函数中的零点与实变函数中类似，若函数f(z)在$z_{0}$处解析，
- 若$f(z_{0})=0$，我们则称$z=z_{0}$为f(z)的零点。
- 若$f(z)=(z-z_{0})^{m}\phi (z)$,$\phi (z)$在$z_{0}$处解析，且$\phi (z_{0}) \neq 0$,则称$z=z_{0}$为f(z)的m阶零点。
通过解析函数的平均值原理，容易得出如下结论：对于恒不为0的解析函数，其零点是孤立的。即在零点的一个小邻域内，函数无其他的零点。
零点与极点的关系
如果$z_{0}$是f(z)的m阶零点，则$z_{0}$就是$\frac{1}{f(z)}$的m阶极点，反过来也成立。
于是若我们需要求函数极点的阶数，事实上我们只需要求函数对应倒函数零点的阶数即可。具体定理的描述如下：
设函数f(z)在$z_{0}$处解析，则下列条件是等价的：
- $z_{0}$为f(z)的m阶零点。
- $f^(k)(z_{0})=0,k=0,1,2,…,m-1;f^{m}(z_{0}) \neq 0$.
我们可以应用上述定理来判别零点的阶数。
若$f(z)=\frac{\phi (z)}{\psi (z)}$,且$z_{0}$为$\phi (z)$的m阶零点，为$\phi (z)$的n阶零点。也就是说： - 当$m \geq n$时，$z_{0}$为f(z)的可去奇点。
- 当m < n时，$z_{0}$为f(z)的(n-m)阶极点。
无穷远点的性态
无穷远点是复平面外的理想点，故无穷远点总是函数f(z)的奇点.如果函数f(z)在无穷远点$z=\infty$的去心邻域内解析，则称点$\infty$位f(z)的孤立奇点。
做变换$w=\frac{1}{z}$把扩充z平面上$\infty$的去心邻域$R<|z|<+\infty$映射扩充为w平面上原点的去心邻域$0<|w|<\frac{1}{R}$.
至此，我们将f(z)在无穷远点的性态，用w=0的性态来刻画，如下：
于是：
- 若在无穷远点处f(z)的极限存在且有限，那么我们称无穷远点是f(z)的可去奇点。
- 若在无穷远点处f(z)的极限为无穷，那么我们称无穷远点是f(z)的极点。
- 若在无穷远点处f(z)的极限不存在且不为无穷，那么我们称无穷远点是f(z)的本性奇点。
四、留数与留数定理
首先我们给出本节中主角“留数”的定义：
设$z_{0}$为函数f(z)的孤立奇点，将f(z)在$z_{0}$的去心邻域内展开成洛朗级数。
等式两端沿C的正向取闭路积分，由重要积分我们知道：
那么我么则得到：
于是$c_{-1}$是上式变换后唯一留下来的洛朗系数，我们称之为留数，记作：
注意上述要求在积分区间内只存在一个孤立奇点，若存在多个，则需要使用如下留数定理：
设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点$z_{1},z_{2},…,z_{n}$外处处解析。C是D内包围所有奇点的一条简单正向闭曲线。则：
留数与奇点
又定义知道在孤立奇点$z_{0}$处的留数本质就是函数在洛朗级数展开式中$(z-z_{0})^{-1}$项的系数$c_{-1}$.
在留数的求解中，奇点的类型对留数的求解有重要的意义：
- 如果$z_{0}$是f(z)的可去奇点，则$Res[f(z),z_{0}]=0$.
- 如果$z_{0}$是本性奇点，则只好将其按照洛朗级数展开。
- 若$z_{0}$是极点，则有如下一些求解的法则：
- 如果$z_{0}$为f(z)的m阶极点，则：
- 若$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$,$Q(z_{0})=0,Q’(z_{0})\neq 0,P(z_{0}) \neq 0$,且P(z),Q(z)在$z_{0}$点解析，则$z_{0}$是f(z)的简单极点:
五、无穷远点处的留数
一般来说，复闭路积分只与该闭路所包为的区域内的奇点处的留数有关，但是为什么又要引入无穷远点处的留数呢？
无穷远点处留数的定义
设函数f(z)在圆环域$R<|z|<\infty$内解析，C为该圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分:
为f(z)在无穷远点的留数。（注意其中曲线方向需要取反），记作：
$C^{-}$理解为圆环域内任意一台哦简单闭曲线。
无穷远点留数与洛朗系数
f(z)在圆环域内$R<|z|<\infty$内解析：
这就是说，f(z)在$\infty$点处的留数等于他在$\infty$点的去心邻域$R<|z|<+\infty$内洛朗展开式中$z^{-1}$的系数变号。
接下来我们讨论某函数在扩充复平面上孤立奇点之间的关系，其由如下定理给出：
如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么f(z)在所有各奇点（包括$\infty$点）的留数总和必定等于0.
六、留数的应用
留数定理描述的是留数与闭路积分的关系，因此若想计算定积分，需要先将闭路积分转变为定积分。
形如$\int_{0}^{2\pi}R(\cos \theta, \sin \theta)d\theta$的积分
其中R(u,v)是u,v的有理数，做变量代换$z=e^{i\theta}$
形如$\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx$的积分
形如$\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx$(a>0)的积分
