线性代数——第一章——行列式

2020-08-23

引言

线性代数研究的核心是向量以及向量与向量之间的关系。而在给定方程齐次与非齐次的情况下，我们就将向量转变为方程，将向量组转变为方程组。而如何解方程组就称为了线性代数中研究的主题。
线性代数的研究主题是向量关系的定性研究和定量描述，以及二次型为标准型的含义与方法。接下来我们首先来介绍行列式。
本章重要的知识点：

行列式的引入与本质定义
行列式的计算：
1. 运用什么工具进行计算
2. 行列式的应用

行列式的定义

行列式的本质定义

行列式的本质是一种向量的运算。

$\boldsymbol{A}=\left[ a_{ij} \right] _{n\times n}=\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] _{n\times n} \\ A=\det \boldsymbol{A}=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|$

具体来说，对于二阶行列式，是由组成其的两个行向量组成的平行四边形的面积。三阶行列式就是三个行向量张成的平行六面体的体积。推广到更高维的情况，n阶行列式是由n个n维向量组成的，其结果为该n个向量为临边所拼成的n为超几何体的体积。

接下来通过定义我们容易退出几个有关行列式性质的结论：假设存在某一行列式A

A的某一行元素为0，|A|=0。此时向量退化为n-1维向量，无法组成n维的几何体，故其体积必为0.
两行元素对应成比例，意味着两个向量平行或者重合，此时几何体也退化，于是体积为0，行列式的值为0.
两行互换，行列式要增加负号。
行列式乘一个常数，某行乘这个常数。从几何背景理解，是体积的常数倍，于是只需要某一个向量的模变成原来的k倍。在此我们特别指出，行列式是体积，而矩阵式系统，于是对于矩阵而言需要保持矩阵的系统性，所以需要每个数都乘以k。
倍加，行列式的某行元素乘以k倍再加到另外一行，行列式的值不变。从几何背景来理解，这条性质表述为，以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变。
当行可拆性，对于某一行可以拆开。两个行列式相加意味着两个行列式有且只有一行向量不同，其余向量均相同。
行列式的精确定义：
$\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{n}}=\sum_{\boldsymbol{j}_1,\boldsymbol{j}_2,...,\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{n}}}^{\boldsymbol{n}}{\left( -1 \right) ^{\boldsymbol{\tau }\left( \boldsymbol{j}_1\boldsymbol{j}_2...\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{n}} \right)}\boldsymbol{a}_{1\boldsymbol{j}_1}\boldsymbol{a}_{2\boldsymbol{j}_2}\cdots \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{nj}_{\boldsymbol{n}}}}$
一个行列式是曲子不同行，不同列的n个元素乘积的代数和。
$a_{1j_{1}},a_{2j_{2}},a_{3j_{3}},…,a_{nj_{n}}$已经按行排好。
$\tau (1j_{1},2j_{2},3j_{3},…,nj_{n})$称为逆序数.

行列式的计算

行列式的按行按列展开

余子式与代数余子式

余子式$M_{ij}$指的是将第m行，第j列的元素去掉后所得到的行列式。

$\text{余子矩阵的行列式称}为\text{余子式} \\ \det \boldsymbol{S}_{ij}$

代数余子式$A_{ij}$指的是具有正负逆序数的余子式。

$A_{ij}={\text{def}}\left( -1 \right) ^{i+j}\det \boldsymbol{S}_{ij}$

我们神奇地发现：

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}; \\ M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij};$

二者之间的形式是类似的，不应该只考虑一个方向.

行列式的展开公式

$A=\det \boldsymbol{A}=\sum_{j=1}^n{a_{ij}A_{ij}},1\leqslant i\leqslant n$ $A=\det \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n{a_{ij}A_{ij}},1\leqslant j\leqslant n$

在实际的解题过程中往往会考虑此性质的逆运用。

重要公式

1. 上下三角展开

若出现上三角或者下三角形式的行列式，那么该行列式的值为主对角线对角线的乘积。若此时上三角或者下三角是沿着副对角线，那么我们需要在之前乘以$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$用以调整系数。此即通过-1+(-2)+…+(-n)求和得到。

2. 拉普拉斯展开式

假设存在两矩阵，分别记为$A_{m \times m},B_{n \times n}$,则:

$\left| \begin{matrix} \boldsymbol{A}& 0\\ 0& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{A}& 0\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{C}\\ 0& \boldsymbol{B}\\ \end{matrix} \right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ $\left| \begin{matrix} 0& \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}& 0\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{C}& \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}& 0\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} 0& \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}& \boldsymbol{C}\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{\boldsymbol{mn}}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

3. 范德蒙行列式

$\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{n}}=\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ \boldsymbol{x}_1& \boldsymbol{x}_2& \cdots& \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \boldsymbol{x}_{1}^{\boldsymbol{n}}& \boldsymbol{x}_{2}^{\boldsymbol{n}}& \cdots& \boldsymbol{x}_{3}^{\boldsymbol{n}}\\ \end{matrix} \right|=\prod_{\boldsymbol{n}\geqslant \boldsymbol{j}\gg \boldsymbol{i}\gg 1}^{}{\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{j}}-\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}} \right)}$

也就是范德蒙行列式的结果等于大位置的元素减去小位置的元素，直到全部减完。

例题分析

明确行列式本质上是一个映射，在某种特定情况下我们可以将其看为函数，也就是说，一切与函数有关的问题都可能结合行列式来考察。
例如：
对于如下行列式，求该行列式等于0得到的根的个数

结果：行列式可化为$5x^{2}-5x$,共有2个根。

进一步可以与高等数学结合，问f’’(0)为多少等等拓展性问题。

$\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 0& 3\\ 1& 2& 3& 12\\ 1& \boldsymbol{x}& \boldsymbol{x}^2& \boldsymbol{x}^3\\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 8\\ 0& 1& 6& 15\\ 1& \boldsymbol{x}& \boldsymbol{x}^2& \boldsymbol{x}^3\\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 12\\ 1& \boldsymbol{x}& \boldsymbol{x}^2& \boldsymbol{x}^3\\ \end{matrix} \right|=0$ 首先利用单行可加性将第一个与第三个行列式相加，再将其与剩下的行列式相加，于是得到一个范德蒙行列式容易求解方程的根为x=3,x=2,x=1.

$|\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{n}}|=\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{n}}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{x}& \boldsymbol{a}& \boldsymbol{a}& \cdots& \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{a}& \boldsymbol{x}& \boldsymbol{a}& \cdots& \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{a}& \boldsymbol{a}& \boldsymbol{x}& \cdots& \boldsymbol{a}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \boldsymbol{a}& \boldsymbol{a}& \boldsymbol{a}& \cdots& \boldsymbol{x}\\ \end{matrix} \right|$

首先我们应该将此类题目对于到方程组，要对其进行化简，具有特定的名称：称为列和相等行列式。
我们首先将所有元素加到一行/一列，之后提出相同元素，利用全为1的一行对其他行进行消元处理。而后得到三角形行列式，求出答案即可。

4.
广义对角行列式：

$\boldsymbol{A}=\left| \begin{matrix} 2\boldsymbol{a}& 1& & & & & \\ \boldsymbol{a}^2& 2\boldsymbol{a}& 1& & & & \\ & \boldsymbol{a}^2& 2\boldsymbol{a}& 1& & & \\ & & \ddots& \ddots& \ddots& & \\ & & & \boldsymbol{a}^2& 2\boldsymbol{a}& 1& \\ & & & & \boldsymbol{a}^2& 2\boldsymbol{a}& 1\\ & & & & & \boldsymbol{a}^2& 2\boldsymbol{a}\\ \end{matrix} \right|$

证明：$|A|=(n+1)a^{n}$

思路：此种类型的题目都需要进行一步递推，首先我们按照行/列展开，之后得到一个类似与差分方程的递推公式，利用此公式即可解出其通解。接着使用初始条件确定常数，即可得到答案。

行列式的应用

克莱姆法则

$\text{对线性代数方程组} \\ \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] , \boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] , \boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right] \\ \text{记系数行列式}为 \\ \varDelta =\det \boldsymbol{A} \\ \varDelta _i={\text{def}}\overset{\begin{array}{c} \text{以}\boldsymbol{b}\text{取代}第i\text{列}\\ \\ \end{array}}{\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& b_1& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots& b_2& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \ddots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& b_n& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|}$

克莱姆法则即使描述了解的形式与解的存在条件：

$\text{当}\varDelta \ne 0\text{时，方程组的解}为 \\ x_1=\frac{\varDelta _1}{\varDelta},x_2=\frac{\varDelta _2}{\varDelta},\cdots ,x_n=\frac{\varDelta _n}{\varDelta}$

例题
设$A=(a_{ij})_{3}$为正交矩阵，$a_{33}=-1$,$b=(0,0,1)^{T}$,求$Ax=b$的解。
将矩阵中的三个元素看作三个向量的时候，通过正交这一条件我们容易求出这一组向量组为该线性空间中的一组标准正交基。
也就是说有如下结论：

正交矩阵是由标准正交基组成的，
且对于正交矩阵而言有其转置和逆相等。
且因为其转置行列式和其本身行列式相等，于是其行列式必定为1或者-1.
A，B是同阶的正交阵，可以推出AB也是正交矩阵。
如果A是正交举证，那么其转置、逆、k次方也是正交矩阵。
解答：
首先因为$a_{33}$=-1，我们容易推出: $\boldsymbol{A}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{a}_{11}& \boldsymbol{a}_{12}& 0\\ \boldsymbol{a}_{21}& \boldsymbol{a}_{22}& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{matrix} \right)$

由于$|A| \neq 0$，通过克莱姆法则，即可以得到结果$x_{1}=0,x_{2}=0,x_{3}=-1$.

引言