复变函数与积分变换——第四章——复数项级数

2020-08-15

一、复数项级数

为研究复数级数的种种性质，我们需要首先给出复数序列的概念。

1.复数序列

（1）复数序列与复数序列的收敛

简单来说，复数序列就是一列复数按照一定排列顺序排成的序列，用数学语言精确表示如下：

$若z_{n}为复数，称\{z_{n}\}_{n=1,2,...}为复数序列。$

那么对于某复数序列，其存在如下极限的定义：
设${z_{n}}_{n=1,2,…}$为一复数序列，那么又设a为一确定的复数，如果对于任意给定的$\epsilon >0$相应的存在自然数N使得当前n>N，总有$|z_{n}-a|<\epsilon$成立，那么我们则称此时复数列${z_{n}}$收敛于a，也称a为复数序列${z_{n}}$的极限。记作：

$\lim_{n\to \infty} z_{n}=a$

同理可知，若此时复数序列不收敛则称复数序列发散。

(2) 复数序列极限存在定理(充要条件)

设$z_{n}=x_{n}+y_{n},a=\alpha + i\beta$,则$\lim_{n\to \infty}=a$的充要条件是:

$\lim_{n\to \infty}x_{n}=\alpha , 且\lim_{n \to \infty}y_{n}=\beta$

因为此定理思想十分重要，我们有必要给出其相关证明：（但是我打字排版好累！！）
证明：

首先我们给出这样的一副图片：

依据三角不等式思想，两边之和大于第三遍而任意一条边小于直角边，于是我们得到如下证明过程：
首先我们来看此定理的 必要性：
若$\lim_{n \to \infty}x_{n} = \alpha ,\lim_{n \to \infty}y_{n} = \beta$,则有：

$\forall \epsilon >0, \exists N, 当n>N时，|z_{n}-a|<\epsilon$

那么我们就可以推出如下关系式:

$|x_{n}-a| \leq |z_{n}-a| < \epsilon, |y_{n}-\beta| \leq |z_{n}-a| < \epsilon$

于是得出:

$\lim_{n \to \infty}y_{n}=a, \lim_{n\to \infty}y_{n}=\beta$

接着我们来证明这一定理的 充分性:
若$\lim_{n \to \infty}x_{n}=\alpha, \lim_{n \to \infty}y_{n}=\beta$,则：

$\forall \epsilon >0, \exists N,当n>N,有|x_{n}-a|<\epsilon,|y_{n}-b|<\epsilon,$

于是容易得出:

$|z_{n}-a| \leq |x_{n}-\alpha|+|y_{n}-\beta|< 2\epsilon$

由于$\epsilon$的任意性可知$\lim_{n\to \infty}z_{n}=a.$

2.复数项级数

在了解了复数数列后我们将其推入无穷。深化讨论复数项序列求和，也就是复数项级数的种种性质。

(1)复数项级数的定义

设${z_{n}}_{n=1,2,3…}$为一复数序列，那么：
(1) 称$\sum_{\boldsymbol{n}=1}^{+\infty}{\boldsymbol{z}_{\boldsymbol{n}}=\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2+\cdots}$为复数项级数，简记为:

$\sum{\boldsymbol{z}_{\boldsymbol{n}}}$

(2)对应于实分析中级数的部分和，我们称$s_{n}=\sum_{\boldsymbol{k}=1}^{n} \boldsymbol{z}_{\boldsymbol{k}}$为级数的部分和。
(3)若序列${s_{n}}$收敛,也就是$\lim_{n \to \infty}s_{n}=s$,则称级数收敛，并且极限值s称为级数的和。

(2)复数项级数收敛的条件

首先我们给出复数项级数收敛的充要条件：
设$z_{n}=x_{n}+iy_{n}$,则级数$\sum z_{n}$收敛的充分必要条件是级数$\sum x_{n}$和$\sum y_{n}$都收敛。
同时若讲上述两个实级数收敛条件减弱为$\lim_{n \to \infty}z_{n}=0$,那么我们则得到了级数收敛的必要条件。

(3)复数项级数中的绝对收敛与条件收敛

对于实分析中绝对收敛的判定，我们可以类似的构造此处绝对收敛与条件收敛的定义：

$\begin{split} &(1)若\sum |z_{n}|收敛，则称\sum z_{n}绝对收敛 \\ &(2)若\sum |z_{n}|发散，而\sum |z_{n}|收敛，则称\sum z_{n}条件收敛 \end{split}$

二、复变函数项级数

在研究玩具体的复数项级数之后，我们进一步需要对其抽象，于是便需要研究复变函数项级数，这就是这一节的主要内容。

1.复变函数项级数的定义

设复变函数f_{n}(z)在区域G内有定义，那么我们有如下两个说法：

称${f_{n}(z)}_{n=1,2,3,…}$为区域G内的复变函数序列。
称$\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+…$为区域G内的复变函数项级数，简记为$\sum f_{n}(z)$。
类似的，我们也可以定义其部分和$s_{n}=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(z)$为级数$\sum f_{n}(z)$的部分和。
若对G内的某一点$z_{0}$,有$\lim_{n\to +\infty}s_{n}(z_{0})=s(z_{0})$，那么我们称级数$\sum f_{n}(z)$在点$z_{0}$处收敛。
若上述（4）中的点构成了一个区域D，我们称此区域D为收敛域。
2.复数域中的幂级数
称由下式给出的复变函数项级数为幂级数:
I形幂级数： $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}(z-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(z-a)+a_{2}(z-a)^{2}+...,$ II形幂级数： $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...,$ 而上述两种类型的幂级数可以通过变量代换进行转化。且对于II型幂级数，其在0点必然是收敛的。
3.复数域中的幂级数的相关定理
我们在实分析中已经学过了Abel定理，那么我们是否能对其推广到复数域内，并对复数域内的幂级数做类似的分析工作呢？答案是肯定的，接下来我们来介绍复数域内的 Abel定理：
对于复数域中的幂级数$\sum a_{n}z^{n}$,有如下几个结论：
若级数在点$z_{0}$点收敛，则它必然在$|z|<|z_{0}|$的范围内均收敛，且绝对收敛。
若级数在点$z_{0}$点发散，则它必然在$|z|>|z_{0}|$的范围内均发散。
由于这个定理是如此得重要且精妙，我在此给出其的证明：
（由于懒得码字，于是我决定给图片！）
首先我们证明（1）：注意利用的方法和思想

接着对于（2），当然也可以用类似（1）的方法找下界，类似可证，但是使用反证法更加简便。且能很好地利用先前的共做，这是我们需要记住的。（不要重复造轮子）

于是我们通过Abel定理知道，复变函数项级数的收敛于必然是某个以0为圆心的圆，于是利用几何的观点，我们将其收敛域也称为收敛圆，将其圆的半径称为收敛半径。

但是需要指出的是，在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。

三、复变函数中幂级数的性质

上一节中我们已经初步介绍了幂级数，那么对于幂级数的收敛半径问题是幂级数讨论中十分重要的一个问题，于是我们在此着重介绍幂级数收敛半径的求解方法。

1.比值法

如果$\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=k$,那么此时的收敛半径即为$\frac{1}{k}.$

2.根值法

如果$\underset{\boldsymbol{n}\rightarrow +\infty}{\lim}\sqrt[\boldsymbol{n}]{|\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{n}}|}=\boldsymbol{\rho }$，则此时的收敛半径为$R=\frac{1}{\rho}$

3.幂级数的运算性质

若f(z)=$\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}}$的收敛域为$r_{1}$,而g(z)=$\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}}$的收敛域为$r_{2}$,那么令r=min{$r_{1},r_{2}$},则在|z|< r的范围内有：

$\begin{split} &f(z)+g(z)=\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}} + \sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}}=\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}+\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}} \\ &f(z)g(z)= \sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}}\cdot\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}}}=\sum_{\boldsymbol{n}=0}^{+\infty}{\left( \sum_{\boldsymbol{k}=0}^{\boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{n}-\boldsymbol{k}}} \right)}\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{n}} \end{split}$

4.幂级数的分析性质

复变函数幂级数的分析性质于实变函数类似：主要有以下三部分，是否解析，是否可以逐项积分，是否可以逐项求导。

5.幂级数的代换(复合)性质

四、复变函数中的Taylor定理于Taylor级数的展开

在复数域内，Taylor公式与实函数形式上没有区别，我们先参考下图，给出定理的具体内容：

针对Taylor我们十分有必要做一个细致的讨论：
(1)只能够在圆域$|z-z_{0}|<R$上展开为幂级数，而非整个解析区域D。这是受幂级数的本身的性质所影响的，幂级数的收敛于必须为圆域，且幂级数一旦收敛那么其和函数必定解析。也就是说对于一个解析函数而言，要将其表达为幂级数，必定是将其在圆域范围内表达为幂级数的形式，所以此处只能够在源于上讲其展开为幂级数。
(2)在Taylor定理中Taylor系数还可以按照下面的方法给出：利用两侧n阶数导数相等，从而对两边求导，于是就可以求得对应的Taylor系数。同时对于此系数也可以使用积分法，如下图：

(4)此处我们特别说明的第三点是对于使用不同方法展开的幂级数，其幂级数是唯一的。
(5)对于一个给定的函数f(z)在$z_{0}$点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从$z_{0}$到f(z)的最近的一个奇点$\bar{z}$的距离。对此我们做一个理论上的分析，首先奇点不可能在园内，因为圆内处处解析；接着奇点不可能在圆外，因为若最近的奇点在圆外则收敛域可以进一步扩大，于是奇点只能存在于圆上，也就是距离$z_{0}$最近的奇点域展开点之间的距离就是当前函数的收敛半径。

五、洛朗定理与洛朗级数展开

上一节我们介绍了Taylor级数，Taylor级数是指的只含有非负次幂项的幂级数，对此做进一步推广和衍生，就产生了我们这一节中的主角——洛朗级数。

1.含有负数次幂的幂级数

为了引出洛朗级数与洛朗定理，我们需要首先看含有负幂次项的幂级数，具体来说：
问题的产生：

如上图所说的，因为z=1这一个奇点，使得我们在|z|>1的广阔解析区域内无法对函数做相应的幂级数展开，如何处理这一问题呢？

聪明的数学家采取了如下方法：

于是我们发现对于复平面上的级数而言，假若不限制展开次幂只能为正的话，我们就可能使得除了奇点所在圆周上的其余圆域，对函数做展开。

由此我们引入了如下具有负数次幂的幂级数：

$\sum_{\boldsymbol{n}=-\infty}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) ^{\boldsymbol{n}}=\cdots +\boldsymbol{a}_{-2}\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) ^{-2}+\boldsymbol{a}_{-1}\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) ^{-1}+\boldsymbol{a}_0+\boldsymbol{a}_1\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) +\boldsymbol{a}_2\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) ^2+\cdots}$

构造好级数后，接下来十分重要的一个议题就是讨论此种幂级数的收敛特性：
于是我们得到如下分析结果：

$\\$

通过上述分析我们可以知道，含有负数次幂的幂级数的收敛域必定为环区。同时我们还能够指出一个重要的性质，对于其合函数，在此幂级数的收敛圆域内，其必定是解析的。

2.洛朗定理

设函数f(z)在圆环域D:$R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$内解析，则f(z)一定能在此圆环域中展开为:

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{z} \right) =\sum_{\boldsymbol{n}=-\infty}^{+\infty}{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\left( \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0 \right) ^{\boldsymbol{n}}}$

其中，

$\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}=\frac{1}{2\boldsymbol{\pi i}}\oint_{\boldsymbol{C}}{\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{\zeta } \right)}{\left( \boldsymbol{\zeta }-\boldsymbol{z}_0 \right) ^{\boldsymbol{n}+1}}\boldsymbol{d\zeta }}$

而C为圆环域内绕$z_{0}$的任何一条简单闭曲线。我们称上述式子中的级数为洛朗级数，而对于上述级数的正幂次项，我们也称其为洛朗级数的解析部分，对于负幂次项我们也称其为洛朗级数的主要部分。同时在某圆环域内的解析函数，展开为洛朗级数，其形式也是唯一的。同时需要注意的是此时洛朗系数不能使用导数的形式来表示，因为当n为负数时，不存在负数的阶乘域导数。

3.解析函数的洛朗级数展开

对于洛朗级数的展开，有两个主要方法，我们分别称为直接展开法和间接展开法。
直接展开法即利用积分公式，直接计算相应洛朗级数的洛朗系数，但是由于此方法比较麻烦，我们在此主要介绍简介展开法：

对此我们依靠如下两个两个常用、且重要的展开式对函数做间接展开法处理：、

而对于上述两个展开式，我们也需要特别关注这两者的的解析环域。

而无论是何种展开，都必须依据函数奇点的位置将函数分为若干个解析环域。或者按照题目要求在指定环域内展开。