第一节——复数及其表示
引言
在初等代数中我们已经遇到了以下六种运算：加法、减法、乘法、除法、指数、对数。
而上述最后两种运算，即乘幂和对数运算在实数范围内不完备。通俗地讲即复数不能开偶次方，对于对数而言，真数也不能为负数，由此我们即引入复数，使得上述运算在复数域内是完备的。
1.复数的基本概念
定义1.1：将形如 的数成为复数，其中i为虚数单位，并规定$i^{2}$=-1,其中x, y为任意实数，分别成为此复数的实部与虚部。分别表示为:
此处需要指出的是，复数的相等，当且仅当其实部和虚部都相等。特别地，当此复数为0时，当且仅当x=y=0。此外当x=0，y≠0时候，我们称此复数为纯虚数，同样的y=0，x≠0时，此时复数退化为实数。同时应该明确，两个复数是无法比较大小的
2.复数的四则运算
假定$\text{z}_1=\text{x}_1+\text{iy}_1,\text{z}_2=\text{x}_2+\text{iy}_2$是两个复数：
2.1复数的加减法运算：实部、虚部分别相加减即可
2.2复数的乘法运算：按照多项式法则运算后，利用i2=-1进行化简
2.3复数的除法运算:复数的除法实际上就是将分母实化的过程
3.复数的几何表示
3.1复平面上的点
由于一个复数的实部与虚部唯一确定后，存在确定的且与之唯一对应的有序实数对(x, y),那么我们可以按照此对应法则将一个复数表示为平面上的一点。同时称此平面为复平面。由此我们知道点是不能比较大小的。
3.2复平面内的一个矢量
如果我们把复数的实部与虚部分别视作平面矢量在两个坐标轴上的投影，那么复数z可以用平面矢量(xi+yj)来表示。于是我们把这个与复数对应向量的模成为此复数的模，记作：|z|=Sqrt(x2+y2).
4.共轭复数及其性质
定义二：共轭复数是指实部相同，而虚部互为相反数的两个复数。具体形式为:$\left( \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{iy}_1 \right) , \left( \boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{iy}_2 \right)$二者互为共轭复数。
共轭复数的重要性质：
同时需要指出的是，如果z为实数，那么$\overline{\boldsymbol{z}}=\boldsymbol{z}$。
5.复数的三角表示
依据直角坐标与极坐标的关系，我们容易知道：
若$z=x+iy$成立，那么$\text{x}=\text{r}\cos \boldsymbol{\theta },\text{y}=\text{r}\sin \boldsymbol{\theta }$
其中 ,于是便由此诞生了复数的三角表示法，也成为极坐标表示法：
其中r为此复数的模，θ为向量与极轴的夹角.而因为可能相差2nπ，我们将{θ+2nπ}这一几何称为幅角，记作Arg z。将其中处于[-π,π]区间上的角度称为为主幅角，记作arg z。（0幅角未定义，不确定）
同时依据欧拉公式，我们也可以将复数写作如下的指数形式：$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{re}^{\boldsymbol{i\theta }}$
其中i为虚数单位。
6.复数四则运算的几何表示
6.1复数的加减法对应平面上矢量的加减法，也就是说复数的加减法满足平行四边形法则和三角形法则，具体如下图:
6.2对于复数的乘除法，我们容易知道，利用复数的三角形式，其本质是模做乘除法，幅角做相应度数的逆时针/顺时针旋转:
第二节——复数的乘幂与方根
引言
复数的乘幂是区别复数与实数的重要运算，在这一部分的学习中，我们开始能够逐渐体会复数的各种独特运算性质以及相应的定理和规律。把握复数和实数的共同之处和差异。
1.复数的乘幂
De Moivre公式即为复数的乘幂公式，其具体形式如下:
当z≠0时，且此时有z=r(cos n θ+ sin n θ),那么对于其乘幂：
需要注意的是当n为负整数时,我们需要补充定义$z_{-1}=\frac{1}{z}$, 此时上述公式依然成立。
例如：n=-1,$|\frac{1}{z}|=\frac{1}{r},arg(\frac{1}{z})=arg1-argz=- \theta$
2.复数的方根
当z≠0时，求z的n次方，即：
按照复数的乘幂公式，我们假定$w=\rho (\cos \phi + i\sin \phi)$,代入到(1.1)式，得到：
此时即：
通过比较等式两边，那么我们能够得到:$\rho = r^{\frac{1}{n}}, \phi = \frac{\theta}{n}$,因此容易知道.此即为复数的方根公式。
那么同时我们需要指出的是此时有：$n\phi=\theta +2k\pi$那么此时解出
,其中(k=0,1,2,3,…,n-1).若此时k大于n-1则回到k=0时的情形。
通过上述分析我们容易得知：
针对方程
它有n个根，我们用$w_{k}$来表示，
其中k=0，1，2，3，…,n-1
在此我们给出其几何上的解释，对于上述方程而言，这n个根应当是以原点o为中心，$r^{\frac{1}{n}}$为半径的内接正n边形的顶点，
第三节——无穷远点与复球面
1.无穷远点
1.1无穷的引入
事实上，在上述复数的介绍中全体复数中没有一个数，和0相乘之后其积不等于0.所以不可能存在这样一个数，他是一个复数被零所除后得到的商。于是为了使得我们对于复数的研究更具有普遍性，我们需要将复数进行必要的扩充，在此我们引入一个数，$\infty$,也就是无穷大.
1.2无穷的特性
对于新引入的无穷，我们对其做如下规定
定义：$\infty 是式\infty=\frac{1}{0}来定义的$ ，为此我们将其四则运算也做一个定义：
注意：和实分析一样，此处$\infty +\infty ,0\cdot \infty ,\frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0}$均是没有意义的。
1.3复数与实数中的无穷的差异
与实数中无穷不同的是，在复数中$\infty$是作为一个定值，而在微积分的学习中我们将$\infty$视作一个符号，用其来描述无穷大量，即$x_{n} \to \infty$,称其中$x_{n}$为无穷大量。
实际上在复平面上没有一个实际的点与$\infty$相对应，但是我们可以假象在，平面上有一个理想点与它对应，我们称此点为无穷远点，因为此处只存在一个无穷远点，于是我们在复数范围内没有必要区分$+\infty,-\infty$
1.4扩充复平面
所谓扩充复平面即指复数平面加上无穷远点叫做扩充复平面或者闭平面，全平面。而不包含无穷远点的平面我们称之为开平面，事实上复平面上任意一条直线都通过无穷原点，为此Riemann特别制造了复数的球面表示法。
2.复球面
2.1复球面的引入
早在古希腊时代，在世界地图的制作中，就考虑到球面与平面上点的对应关系，将地球投影到平面上进行研究，这种方法称为测地投影法。
我们通过类似方法引入复球面的概念，参考下图：
而我们从上图中容易看出，按照测地投影法的对应关系：假设p’为复数平面上的任意一点，则通过N与p’连线与球面交于唯一一点p，如果仅以N为射影中心，那么除N点外，球面上所有点与平面上的所有点均是一一对应的。
于是对于北极点N我们定义其对应无穷远点，那么此时全体复数可以用在此球面上的点表示，同时也消除了复平面上无穷远点的特殊性。于是我们将这样规定的球面称为复球面，或者Riemann球面。
第四节——平面点集的一般概念
1. 开集与闭集
1.1 邻域
平面上以$z_{0}$为中心，以$\delta$为半径的圆，按照如下表示：
称它为$z_{0}$的领域，记作$U(z_{0},\delta)$,而由称不等式$|z-z_{0}|<\delta$所确定的点集为$z_{0}$的去心邻域。
而对于无穷远点我们对其领域描述按照如下方式进行：
1.2 内点
也就是说，一个集合的内点必然存在其某个邻域使得该邻域包含于此此集合。
1.3 开集
假如某个集合中的点全部是其内点，那么我们称此集合为开集。
1.4 闭集
平面上不属于G的的点的全体称为G的余集，记作$G^{c}$,开集的余集称为闭集。
1.5 边界点与边界
1.6 孤立点
按照上述定义，我们容易看出，集合中任何一个孤立点总是该集合的边界点。
1.7 有界集与无界集
如果存在一个以z=0为中心的圆域包含G，那么我们则称此时G为有界集。反之若任意圆域均无法包含G，我们称G为无界集。
2.区域
2.1 连通集
设D为一点集，若对D中任意两点可用一条全部属于D的折线连接起来，我们则称D为连通集。
如上图所示，容易看出前两图为连通集，而第三图为非连通集。
2.2 区域
对于平面上的某一点集D，如果其满足如下两个条件：
那么我们称此平面点集，为区域。换句话说，区域就是连通的开集。区域D和它的碧娜姐一起构成的集合称为闭域，记作：$\bar{D}$
那么我们可以得到如下结论：区域是开集，闭区域是闭集，出来全平面即为区域又是闭区域外，区域与闭区域是两种具有不同性质的点集。闭区域并非区域，这是需要我们记住的。
复平面上的曲线
1 复平面上曲线的引入
在微积分课程中我们已经直到，对应某一平面曲线，我们可以使用一对连续的函数，$x=x(t),y=y(t),(a<t<b)$来表示（称为曲线的参数方程表示），现在我们用复值函数$z(t)$表示如下：
于是，此时我们即表明了复平面上的一条曲线，例如:
而同时因为在复变函数论中，复数和平面上的点具有一一对应关系，那么对于一条平面上的直线而言，除了使用上述参数方程表示外，还可以使用动点来表示复平面上的曲线，例如：
如果在区间a< t < b上 x’(t)和y’(t)都是连续的，且对于任意取值的t都有$[x’(t)]^{2}+[y’(t)]^{2} \neq 0$,那么我们称此曲线为光滑曲线，有几段一次相接的光滑曲线组成的曲线称为分段光滑曲线。
2 复平面上曲线的特性
定义1：
设$C：z=z(t)(a\le t \le b)$为一条连续曲线，z(a)与z(b)分别为此曲线的起点和终点，那么对于满足$a < t_{1} < b, a \le t \le b$的$t_{1}$与$t_{2}$,当$t_{1} = t_{2}$时，点$z(t_{1})$称为曲线C的重点。
定义2:
没有重点的连续曲线C，称为简单曲线或者若尔当曲线(Jordan)曲线。如果简单曲线的起点与终点重合，也就是$z(a) = z(b)$，那么曲线C称为简单闭合曲线，并同时规定其正方向为逆时针方向。
（简单曲线的特点即是：简单曲线与自身是不会相交的）
对于简单曲线，我们有如下几个定理的存在：
定理1：
任意简单闭曲线将平面分为两个区域，他们都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部，另外一个称为无界区域，称为外部。
上述定理为我们描述了区域的连通情况，依据简单闭曲线的这个性质，我们可以区别区域的连通情况。设D是一个区域，如果对D内的任意简单闭曲线，曲线的内部总属于D，则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为复连通区域。
同时我们可以将其特征简单概述如下：属于单连通域D的任意一条曲线，在D内都可以经过连续的变形而缩成一点。相反的，多连通域就不具有这个性质。
3 复数方程与平面图形
3.1 已知曲线C的方程为F(x,y)=0 ,如何求出C的复数形式的方程
对于上述问题，比较普遍的一种解决方案是使用如下公式：
将此式代入曲线C的方程中，再通过化简，我们即能够得到了此时的曲线C的复数表达形式。
3.2 从复数的方程与不等式来确定平面图形的特征
对于这一类问题实际上较为复杂，但是主要有以下两种思路来解决：
- 通过$z=x+iy,\bar{z}=x-iy$来替换复数方程中的$z,\bar{z}$从而将原式化为直角形式。于是能够从直角坐标的形式出发，得到我们熟悉的各种几何图形。
- 通过$z=r(\cos \theta + i \sin \theta),\bar{z}=r(\cos \theta - i \sin \theta)$来替换复数方程中的$z,\bar{z}$从而将原式化为直角形式。于是能够从参数的形式出发，得到我们熟悉的各种几何图形。